POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN
Pada
pembahasan kali ini kita akan membahas apa aja sih ?
1) Pola
Bilangan
2)
Barisan Bilangan
3)
Barisan dan Deret Aritmatika
4)
Barisan dan Deret Geometri
***************************
1) Pola
Bilangan
A.
Pengertian Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai
pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka"
baik mendatar, menurun, diagonal (miring).
B.
Jenis dan Bentuk Pola Bilangan
a) Pola
Bilangan Ganjil
o
o
o o
o
o
o o o
berikut
pola titik" yang menyatakan suatu bilangan ganjil yang dinyatakan dengan
banyak titik nya , yaitu 1, 3, 5, dst
b) Pola
Bilangan Genap
o o
o
o o o
o
o
o o o
o
berikut
pola titik" yang menyatakan suatu bilangan genap yang dinyatakan dengan
banyak titik nya , yaitu 2, 4, 6, dst
c) Pola
Bilangan Segitiga Pascal
(Bentuk
Segitiga) >> diperoleh dari penambahan baris diatasnya ..
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4
1
1 5 10
10 5 1
1 6 15
20 15 6 1 ....
d) Pola
Bilangan Persegi
o
o o
o o
o o o
o o o
o o o
...
Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari
bilangan asli . Un= n^2
e) Pola
Bilangan Persegi Panjang
o o
o o o
o o o
o o o o
o o o o
o o o o
...
Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ... Un = n(n+1)
f) Pola
bilangan segitiga
Bentuk
segitiga sama sisi >>
o
o
o o
o
o o
o o o
...
Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)
2.
Barisan Bilangan
Jenis-jenis
barisan bilangan ::
a.
Barisan Bilangan Genap
Barisan:
2, 4, 6, 8, ...
Deret:
2 + 4 + 6 + 8 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = 2n
Jumlah
n suku pertama: Sn = n² + n
2.
Barisan Bilngan Ganjil
Barisan:
1, 3, 5, 7, 9, …
Deret:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = 2n – 1
Jumlah
n suku pertama: Sn = n²
3.
Barisan Bilangan Persegi ( Kuadrat )
Barisan:
1, 4, 9, 16, 25, 36, …
Deret:
1 + 4 + 9 + 25 + 36 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = n²
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/6 n( n + 1 )( 2n + 1 )
4.
Barisan Bilngan Kubus ( Kubik )
Barisan:
1, 8, 27, 64, 125, 216, …
Deret:
1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = n³
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/4 n² ( n + 1 )²
5.
Barisan Bilangan Segitiga
Barisan:
1, 3, 6, 10, 15, 21, …
Deret:
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = 1/2 n ( n + 1 )
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
6.
Barisan Bilangan Persegi Panjang
Barisan:
2, 6, 12, 20, 30, 42, …
Deret:
2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = n ( n + 1 )
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
7.
Barisan Bilangan Balok
Barisan:
6, 24, 60, 120, …
Deret:
6 + 24 + 60 + 120 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = n ( n + 1 ) ( n + 2 )
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )
8.
Barisan Bilangan Fibonacci
Barisan
Bilangan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua
suku di depannya.
Barisan:1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Deret:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = Un - 1 + Un – 2
C.
Barisan dan Deret Aritmatika
1)
Barisan Aritmatika
Barisan
Aritmatika adalah barisan dimana suku berikutnya diperoleh dengan cara
menambahkan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu
disebut beda (b).
Bentuk
umum :: a , a+b , a+2b , a+3b , ... , a+(n-1)b
beda
(b) = U2-U1 = U3-U2 = .... = Un-U(n-1)
Un =
a+(n-1)b
dengan
:
a =
suku pertama
b =
beda ( selisih )
n =
banyaknya suku
Un =
suku ke-n yaitu suku terakhir
2)
Deret Aritmatika
Deret
aritmatika adalah jumlah semua suku pada barisan aritmatika.
Bentuk
umum :: a + (a+b) + (a+2b) + ... + a+(n-1)b
Jumlah
n suku pertama deret aritmatika Sn , Sn = n/2 (a+Un) atau Sn = n/2 (2a+(n-1)b)
deret
barisan aritmatika bermacam – macam, yang penting barisan yang di buat memenuhi
syarat tersebut, contohnya adalah sebagai berikut : Deret: 1, 5, 9, 13, 17, …
dapatkah
kawan – kawan meneruskannya ? iya’, mudah sekali,karena apa ? kita mengetahui
polanya,yaitu mempunya beda 4,dan suku selanjutnya adalah 21, 25, … dan barisan
aritmatika juga dapat kita batasi sendiri yang penting memenuhi syarat tadi…….
sebetulnya
barisan aritmatika mempunya banyak macam, tapi kita anak smp hanyalah ini yang
di ajari di sekolah, untuk sekedar pengayaan, ada juga aritmatika tingkat 2,
kalau itu tadi tingkat 1.
secara
umum dapat di tulis :
Rumus
Suku ke-n : Un = an² + bn + c
tapi
kita harus mencari dulu nilai a, b, dan c, hanya sebagai ilmu tambahan aja ^^
.. lain kali kita bahas ya :D
3.
Sifat Barisan dan Deret Aritmetika
a) Jika
U1, U2, U3, U4 -> barisan aritmetika maka berlaku :
>>
2 U2 = U1 + U3
>>
U2+U3 = U1+U4
b)
Hubungan antara Un dan Sn
Un = Sn
- S(n-1)
c)
Sisipan pada barisan artimatika
apabila
diantara 2 suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan aritmatika
baru, maka beda suku baru setelah sisipan adalah : b' = b / (k+1)
dengan
:
b' =
beda setelah sisipan
b =
beda sebelum sisipan
k =
banyak suku sisipan
banyaknya
suku baru setelah sisipan adalah: n' = n+(n-1)k
dengan
:
n' =
banyak suku setelah sisipan
n =
banyak suku sebelum sisipan
k =
banyaknya suku sisipan
Jumlah
n suku pertama sesudah sisipan adalah : Sn' = n'/2 (2a+(n'-1)b')
ex :
Diantara 5 dan 50 disisipi 8 bilanagn sehingga membentuk barisan aritmatika.
Tentukan barisan tersebut .. jawab : beda sebelum sisipan = b = 50-5 = 45 beda
sesudah sisipan b' = b / (k+1) = 45/(8+1) = 45/9 = 5 jadi barisan yg
dibentuk : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.
4. Suku
Tengah Aritmatika
Ut =
(a+Un)/2
dengan
:
Ut =
suku tengah
Un =
suku ke-n
a =
suku pertama
D.
Barisan dan Deret Geometri
1.
Barisan Geometri
Barisan
Geometri adalah suatu barisan bilangan dimana suku-suku berikutnya diperoleh
dengan mengalikan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu
rasio (r)
Bentuk
umum :: a , ar, ar^2 , ... , ar^(n-1)
r =
U2/U1 = U3/U2 = ... = Un/U(n-1)
Un =
ar^(n-1)
dengan
:
a = U1
= suku pertama
r =
rasio
n =
banyak suku
untuk r
untuk
r>1 disebut geometri naik (barisan divergen)
2)
Deret Geometri
Deret
geometri adalah jumlah semua suku pada barisan geometri,
Bentuk
umum :: a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1).
Jumlah
n suku pertama deret geo (Sn)
Sn =
a[(r^n - 1)/(r-1)] , r>1
Sn =
a[(1 - r^n)/(1-r)] , r
Jika
nilai rasio (r) adalah 0 < r < 1 maka jumlah n suku sampai tak hingga
adalah :
S~
=a/(1-r) dengan :
a= suku
pertama
r =
rasio
3.
Sifat Barisan dan Deret Geometri
a) Jika
U1, U2, U3, U4 adalah barisan geometri
>>
(U2)^2 = U1 * U3
>>
U1 * U4 = U2 * U3
b)
Hubungan antara Un dan Sn
Un = Sn
- S(n-1)
c)
Sisipan pada barisan geometri
apabila
diantara dua suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan geometri
baru maka rasio baru setelah sisipan adalah : r' = (k+1)'V(r) = (k+1) akar
pangkat dari r
dengan:
r' =
rasio setelah sisipan
r =
rasio sebelum sisipan
k =
banyaknya suku sisipan
banyaknya
suku baru setelah sisipan adalah n' = n+(n-1)k
dengan
:
n' =
banyaknya suku setelah sisipan
n =
banyaknya suku sebelum sisipan
k =
banyknya suku sisipan
jumlah
n suku pertama setelah sisipan :
Sn' = a
[{(r')^(n'-1)} / (r' - 1) ] , r'>1
Sn' =
a[{1 - (r')^n} / (1-r') ] , r' < 1
4. Suku
tengah geometri
Ut =
V(a. Un)
Ut:suku
tengah
a :
suku pertama
Un:
suku ke-n
@ Semoga Berkah dan Bermanfaat @
