SOLUSI SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA KURIKULUM 2013

 Buktikan bahwa 1^2001+2^2001 + 3^2001+........+ 2001^2001 adalah kelipatan 13 ???

< SOAL MATEMATIKA SMA Kelas 10 KURIKULUM 2013 >

Solusi Konkret dan Super:

Kita Gunakan aturan konsep teori bilangan ganjil :
a^n+b^n = (a+b).[ a^(n-1) - b1.a^(n-2)+.....+b^(n-1)]
(tapi aturan ini hanya untuk pangkat bilangan ganjil saja)
1^2001+2001^2001=(1+2001).(1^2000 -1^1999.2001^1+......+2001^2000)
2^2001+2000^2001=(2+2000).(2^2000 - 2^1999.2000^1+.....+2000^2000)
3^2001+1999^2001=(3+1999).(3^2000 - 3^1999.1999^1+.....+1999^2000)
dan seterusnya...

Perhatikan pola awalnya semuanya ketika dijumlahkan menghasilkan bilangan yang sama yaitu 2002
anggap
(1^2000 -1^1999.2001^1+......+2001^2000)=k1
(2^2000 - 2^1999.2000^1+.....+2000^2000)=k2
(3^2000 - 3^1999.1999^1+.....+1999^2000)=k3

maka
1^2001+2001^2001=2002.k1
2^2001+2000^2001=2002.k2
3^2001+1999^2001=2002.k3
dst
-------------------------------------(+)
Hasil Sederhanannya
1^2001+2^2002+3^2001+......+2001^2001= 2002(k1+k2+k3+....)
1^2001+2^2002+3^2001+......+2001^2001= 13.154.k

1^2001+2^2002+3^2001+......+2001^2001= 13 (H1) dimana H1= 154k
Jadi terbukti benar kelipatan 13 atau habis dibagi 13.

2. Fermat's little theorem : p divides a^(p−1) − 1 whenever p is prime and a is coprime to p
jika digeneralisasi bisa jadi gini:
bilangan prima p dan bilangan bulat n>p dengan n = -1 mod p , maka berlaku:
(1^n + 2^n + 3^n + . . . . + n^n) habis dibagi p

2001 = -1 mod 13 , karena 13 bil prima maka:
1^2001 + 2^2001 + 3^2001 + .... +2001^2001 habis dibagi 13

2001^2001 + 1^2001 = (2001+1)(2001^2000 – 2001^1999+....+1)
=13*54*(2001^2000 – 2001^1999+....+1)
=13k_1

2000^2001 + 2^2001 = (2000+2)(2000^2000 – 2000^1999+....+1)
=13*54*(2000^2000 – 2000^1999+....+1)
=13k_2

dst ...
sehingga,
1^2001 + 2^2001 + .... + 2001^2001
=(2001^2001 + 1^2001) + (2000^2001 + 2^2001) + ....
= 13k_1 + 13k_2 + ....
=13*(k_1 + k_2 + ....)
= 13k

@ Semoga Berkah dan Bermanfaat @