SOAL CUCI OTAK MATH FULL HOUCE 2014

SOAL CUCI OTAK MATH FULL HOUCE

Soal OSN SMA Tingkat Kotamadya

Coba selesaikan sistem persamaan bilangan real dibawah ini

Buktikan untuk bilangan real x,y,z > 0 maka
x²/(x+y) + y²/(y+z) + z²/(z+x) ≥ (x+y+z)/2
x²+y²+z² = 14
x³+y³+z³ = 34

Tentukan nilai x + y + z =?

SELAMAT BERANALISIS DAN BERGOYANG

 

Solusinya adalah :

Bisa bentuk ke polinom monik:
P(t)=t³+at²+bt+c dg a,b,c suatu konstanta ; x,y,z akar2 polinom tsb.
a=-(x+y+z) -->a=-4
b=xy+xz+yz
c=-xyz
x²+y²+z² = (x+y+z)² -2(xy+xz+yz)
14=16-2(xy+xz+yz) --> xy+xz+yz=1
b=1
x³+y³+z³=(x+y+z)( x²+y²+z²-( xy+xz+yz)) +3xyz
34=4(14-1)+3xyz
34-52=3xyz
-18=3xyz -->xyz=-6
c=6
P(t)=t³+at²+bt+c
P(t)= t³-4t²+t+6
x,y,z akar2 polinom tsb maka:
P(t)= t³-4t²+t+6=0 -->(t+1)(t-2)(t-3)=0
t={-1,2,3} -->(x,y,z)={(-1,2,3);(2,-1,3);(2,3,-1);(3,2,-1);(3,-1,2);(-1,3,2)}.
Jadi nilai x + y + z = -1 + 2 + 3 = 4

@Semoga Bermanfaat @